Cálculo Exemplos

$\int \sin^{4} (x) \cos^{3} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{4} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 4

Multiplique $u^{4} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{4} \cdot 1 + u^{4} (- u^{2}) d u$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $u^{4}$ por $1$ .

$\int u^{4} + u^{4} (- u^{2}) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $u^{4}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova $u^{2}$ .

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} \cdot - 1 d u$

Etapa 5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{4} + u^{2 + 4} \cdot - 1 d u$

Etapa 5.2.3

Some $2$ e $4$ .

$\int u^{4} + u^{6} \cdot - 1 d u$

Etapa 5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $u^{6}$ .

$\int u^{4} - 1 \cdot u^{6} d u$

Etapa 5.4

Reescreva $- 1 u^{6}$ como $- u^{6}$ .

$\int u^{4} - u^{6} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{4} d u + \int - u^{6} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{6} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{6} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{7} u^{7} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + C$