Cálculo Exemplos

$\int x^{11} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{11}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{12} x^{12}) - \int \frac{1}{12} x^{12} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $x^{12}$ .

$\ln (x) \frac{x^{12}}{12} - \int \frac{1}{12} x^{12} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{12}}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \int \frac{1}{12} x^{12} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int x^{12} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{12}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x^{12}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{12}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x^{11}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{11}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int x^{11} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} \int x^{11} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{11}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} (\frac{1}{12} x^{12} + C)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} (\frac{1}{12} x^{12} + C)$ como $\frac{1}{12} \ln (x) x^{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$ .

$\frac{1}{12} \ln (x) x^{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{12} x^{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{12}$ e $x^{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12 \cdot 12} x^{12} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $12$ por $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{144} x^{12} + C$

$\frac{1}{12} \ln (x) x^{12} - \frac{1}{144} x^{12} + C$