Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Etapa 2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Etapa 2.2.1.3

Some $1$ e $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Etapa 2.2.1.4

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.1.5

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Etapa 2.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 2.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 4

Deixe $u = \tan (t)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \tan (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan (t)$ em relação a $t$ é $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 5

Multiplique $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 6.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$