Cálculo Exemplos

$\int x e^{- 5 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 5 x}$ .

$x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $e^{- 5 x}$ e $\frac{1}{5}$ .

$x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = - 5 x$ . Depois, $d u = - 5 d x$ , então, $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Etapa 11.2.2

Combine $e^{- 5 x}$ e $\frac{x}{5}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 5 x$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Etapa 13

Combine $e^{- 5 x}$ e $\frac{1}{25}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$