Cálculo Exemplos

$\int 3 t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Etapa 2

Deixe $u = t^{3} + 2$ . Depois, $d u = 3 t^{2} d t$ , então, $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = t^{3} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $t^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 2]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Etapa 2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Etapa 2.1.5

Some $3 t^{2}$ e $0$ .

$3 t^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.3

Multiplique $\int \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{3} + 2$ .

$\frac{2}{3} {(t^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$