Cálculo Exemplos

$\int x \arctan (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \arctan (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\arctan (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \arctan (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \arctan (u_{1})$ e $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Etapa 5

Combine $u_{1}$ e $\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${u_{1}}^{2} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$2 u_{1} + 0$

Etapa 6.1.5

Some $2 u_{1}$ e $0$ .

$2 u_{1}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {u_{1}}^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 11.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {(x^{2})}^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2 \cdot 2} + 1 |)) + C$

Etapa 12.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\ln (| x^{4} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Etapa 12.2

Para escrever $\arctan (x^{2}) x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Etapa 12.3

Combine $\arctan (x^{2}) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Etapa 12.5

Mova $2$ para a esquerda de $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Etapa 12.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

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Etapa 12.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 12.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Etapa 12.7

Reordene os fatores em $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4}$ .

$\frac{2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} (2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$