Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\sqrt{11}} \frac{10 x}{\sqrt{x^{2} + 25}} d x$

Etapa 1

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int_{0}^{\sqrt{11}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2} + 25$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{2} + 25$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [25]$

Etapa 2.1.4

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 25$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 25$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 25$

Etapa 2.3.2

Some $0$ e $25$ .

$u_{lower} = 25$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 25$ .

$u_{upper} = {\sqrt{11}}^{2} + 25$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Etapa 2.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(11^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 11^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25$

Etapa 2.5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 11^{\frac{2}{2}} + 25$

Etapa 2.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 11^{\frac{2}{2}} + 25$

Etapa 2.5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 11^{1} + 25$

Etapa 2.5.1.5

Avalie o expoente.

$u_{upper} = 11 + 25$

Etapa 2.5.2

Some $11$ e $25$ .

$u_{upper} = 36$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 36$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$10 (\frac{1}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $10$ .

$\frac{10}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{1} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$5 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int_{25}^{36} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$5 \int_{25}^{36} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{25}^{36} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$5 \int_{25}^{36} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 \int_{25}^{36} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $36$ e em $25$ .

$5 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$5 (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$5 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$5 (2 \cdot 6^{1} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.4

Avalie o expoente.

$5 (2 \cdot 6 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $2$ por $6$ .

$5 (12 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.6

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$5 (12 - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 7.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.8.1

Cancele o fator comum.

$5 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 7.2.8.2

Reescreva a expressão.

$5 (12 - 2 \cdot 5^{1})$

Etapa 7.2.9

Avalie o expoente.

$5 (12 - 2 \cdot 5)$

Etapa 7.2.10

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$5 (12 - 10)$

Etapa 7.2.11

Subtraia $10$ de $12$ .

$5 \cdot 2$

Etapa 7.2.12

Multiplique $5$ por $2$ .

$10$

Etapa 8