Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x^{12}$ . Depois, $d u = 12 x^{11} d x$ , então, $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x^{12}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{12}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Etapa 2

Combine $u^{11}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{11}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{12} u^{12}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{12}$ e $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $4096$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $4$ de $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Etapa 5.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Etapa 5.2.6

Para escrever $\frac{1024}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Etapa 5.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Multiplique $\frac{1024}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Etapa 5.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Etapa 5.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Multiplique $1024$ por $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Etapa 5.2.9.2

Subtraia $1$ de $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Etapa 5.2.10

Cancele o fator comum de $4095$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Fatore $3$ de $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Etapa 5.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Etapa 5.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Etapa 5.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $12$ por $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Etapa 5.2.13

Cancele o fator comum de $1365$ e $48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.13.1

Fatore $3$ de $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

Etapa 5.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.13.2.1

Fatore $3$ de $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Etapa 5.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Etapa 5.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{455}{16}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{455}{16}$

Forma decimal:

$28.4375$

Forma de número misto:

$28 \frac{7}{16}$

Etapa 7