Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} (3 - t) \sqrt{t} d t$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{3} (3 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Etapa 2

Expanda $(3 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Etapa 2.2

Fatore o negativo.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Etapa 2.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Etapa 2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Etapa 2.7

Some $2$ e $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{3} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 6

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{3}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{3})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $3$ e em $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Etapa 9.2.2

Avalie $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ em $3$ e em $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.2.3.1

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.2.3.2.1

Mova $3^{- 1}$ .

$3 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.3.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.2.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.5.2

Reescreva a expressão.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.8

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 9.2.3.8.1

Fatore $3$ de $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.10

Some $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.12

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 9.2.3.13

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Etapa 9.2.3.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.3.14.1

Cancele o fator comum.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Etapa 9.2.3.14.2

Reescreva a expressão.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Etapa 9.2.3.15

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Etapa 9.2.3.16

Multiplique $2$ por $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Etapa 9.2.3.17

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 9.2.3.17.1

Fatore $5$ de $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Etapa 9.2.3.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.17.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Etapa 9.2.3.17.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Etapa 9.2.3.17.2.3

Reescreva a expressão.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Etapa 9.2.3.17.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 0)$

Etapa 9.2.3.18

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + 0)$

Etapa 9.2.3.19

Some $\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$ e $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 9.2.3.20

Para escrever $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 9.2.3.21

Combine $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 9.2.3.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 9.2.3.23

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Forma decimal:

$4.15692193 \dots$

Etapa 11