Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x^{2} + 9$ . Depois, $d u = 8 x d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x^{2} + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$u_{lower} = 4 + 9$

Etapa 1.3.2

Some $4$ e $9$ .

$u_{lower} = 13$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $4$ por $49$ .

$u_{upper} = 196 + 9$

Etapa 1.5.2

Some $196$ e $9$ .

$u_{upper} = 205$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $205$ e em $13$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $205^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Combine $13^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Etapa 6.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.2

Combine.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ para o numerador.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 7.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 7.3.3

Fatore $2$ de $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Etapa 7.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Etapa 7.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.1

Fatore $2$ de $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.6.2.1

Fatore $2$ de $8 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6.3

Multiplique $205^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 7.6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Forma decimal:

$240.69009594 \dots$

Etapa 9