Cálculo Exemplos

$e^{x}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = e^{x + h}$

Etapa 2.1.2

A resposta final é $e^{x + h}$ .

$e^{x + h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $e^{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.4

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.5

Avalie o limite de $e^{x}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3

Combine os termos opostos em $e^{x + 0} - e^{x}$ .

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Etapa 5.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3.2

Subtraia $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + h} - e^{x}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = x + h$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.3

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.6

Multiplique $e^{x + h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.4

Como $- e^{x}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.5

Some $e^{x + h}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

Etapa 5.4

Divida $e^{x + h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Etapa 7

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$e^{x + 0}$

Etapa 8

Some $x$ e $0$ .

$e^{x}$

Etapa 9