Cálculo Exemplos

Encontre os Pontos de Inflexão f(x)=x^4-2x^2+3
Etapa 1
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.1.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.3.2
Some e .
Etapa 1.2
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.2.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3.3
Multiplique por .
Etapa 1.3
A segunda derivada de com relação a é .
Etapa 2
Defina a segunda derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Defina a segunda derivada como igual a .
Etapa 2.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 2.3
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Divida cada termo em por .
Etapa 2.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.3.2.1.2
Divida por .
Etapa 2.3.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.1.1
Fatore de .
Etapa 2.3.3.1.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.1.2.1
Fatore de .
Etapa 2.3.3.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.3.3.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Etapa 2.5
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.1
Reescreva como .
Etapa 2.5.2
Qualquer raiz de é .
Etapa 2.5.3
Multiplique por .
Etapa 2.5.4
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.4.1
Multiplique por .
Etapa 2.5.4.2
Eleve à potência de .
Etapa 2.5.4.3
Eleve à potência de .
Etapa 2.5.4.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.5.4.5
Some e .
Etapa 2.5.4.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.4.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 2.5.4.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.5.4.6.3
Combine e .
Etapa 2.5.4.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.4.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.5.4.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 2.5.4.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 2.6
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 2.6.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 2.6.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 3
Encontre os pontos em que a segunda derivada é .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Substitua em para encontrar o valor de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.1.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 3.1.2.1.2
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.2.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.2.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 3.1.2.1.2.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 3.1.2.1.2.1.3
Combine e .
Etapa 3.1.2.1.2.1.4
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.2.1.4.1
Fatore de .
Etapa 3.1.2.1.2.1.4.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.2.1.4.2.1
Fatore de .
Etapa 3.1.2.1.2.1.4.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 3.1.2.1.2.1.4.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3.1.2.1.2.1.4.2.4
Divida por .
Etapa 3.1.2.1.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 3.1.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 3.1.2.1.4
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.4.1
Fatore de .
Etapa 3.1.2.1.4.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.4.2.1
Fatore de .
Etapa 3.1.2.1.4.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 3.1.2.1.4.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3.1.2.1.5
Aplique a regra do produto a .
Etapa 3.1.2.1.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 3.1.2.1.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 3.1.2.1.6.3
Combine e .
Etapa 3.1.2.1.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 3.1.2.1.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 3.1.2.1.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 3.1.2.1.7
Eleve à potência de .
Etapa 3.1.2.1.8
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.8.1
Fatore de .
Etapa 3.1.2.1.8.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1.8.2.1
Fatore de .
Etapa 3.1.2.1.8.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 3.1.2.1.8.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3.1.2.1.9
Combine e .
Etapa 3.1.2.1.10
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3.1.2.2
Encontre o denominador comum.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.2.3
Escreva como uma fração com denominador .
Etapa 3.1.2.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.2.5
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.2.6
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 3.1.2.4
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.5
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.5.1
Subtraia de .
Etapa 3.1.2.5.2
Some e .
Etapa 3.1.2.6
A resposta final é .
Etapa 3.2
O ponto encontrado ao substituir em é . Ele pode ser um ponto de inflexão.
Etapa 3.3
Substitua em para encontrar o valor de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.1
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 3.3.2.1.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 3.3.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 3.3.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.1.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.4.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.4.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 3.3.2.1.4.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 3.3.2.1.4.1.3
Combine e .
Etapa 3.3.2.1.4.1.4
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.4.1.4.1
Fatore de .
Etapa 3.3.2.1.4.1.4.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.4.1.4.2.1
Fatore de .
Etapa 3.3.2.1.4.1.4.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 3.3.2.1.4.1.4.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3.3.2.1.4.1.4.2.4
Divida por .
Etapa 3.3.2.1.4.2
Eleve à potência de .
Etapa 3.3.2.1.5
Eleve à potência de .
Etapa 3.3.2.1.6
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.6.1
Fatore de .
Etapa 3.3.2.1.6.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.6.2.1
Fatore de .
Etapa 3.3.2.1.6.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 3.3.2.1.6.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3.3.2.1.7
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.7.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 3.3.2.1.7.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 3.3.2.1.8
Eleve à potência de .
Etapa 3.3.2.1.9
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.1.10
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.10.1
Use para reescrever como .
Etapa 3.3.2.1.10.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 3.3.2.1.10.3
Combine e .
Etapa 3.3.2.1.10.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.10.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 3.3.2.1.10.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 3.3.2.1.10.5
Avalie o expoente.
Etapa 3.3.2.1.11
Eleve à potência de .
Etapa 3.3.2.1.12
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.12.1
Fatore de .
Etapa 3.3.2.1.12.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.12.2.1
Fatore de .
Etapa 3.3.2.1.12.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 3.3.2.1.12.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 3.3.2.1.13
Combine e .
Etapa 3.3.2.1.14
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 3.3.2.2
Encontre o denominador comum.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.2.3
Escreva como uma fração com denominador .
Etapa 3.3.2.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.2.5
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.2.6
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 3.3.2.4
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.5
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.5.1
Subtraia de .
Etapa 3.3.2.5.2
Some e .
Etapa 3.3.2.6
A resposta final é .
Etapa 3.4
O ponto encontrado ao substituir em é . Ele pode ser um ponto de inflexão.
Etapa 3.5
Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.
Etapa 4
Divida em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.
Etapa 5
Substitua um valor do intervalo na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.2
Subtraia de .
Etapa 5.2.3
A resposta final é .
Etapa 5.3
Em , a segunda derivada é . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo .
Acréscimo em , pois
Acréscimo em , pois
Etapa 6
Substitua um valor do intervalo na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 6.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 6.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 6.2.2
Subtraia de .
Etapa 6.2.3
A resposta final é .
Etapa 6.3
Em , a segunda derivada é . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo .
Decréscimo em , pois
Decréscimo em , pois
Etapa 7
Substitua um valor do intervalo na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 7.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 7.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 7.2.2
Subtraia de .
Etapa 7.2.3
A resposta final é .
Etapa 7.3
Em , a segunda derivada é . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo .
Acréscimo em , pois
Acréscimo em , pois
Etapa 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Etapa 9