Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{x}{x^{2} + 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 + 1}$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1}{1 + 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, \frac{1}{2}), (- 1, - \frac{1}{2})$

Etapa 5