Cálculo Exemplos

$x = \tan (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (y)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 7.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (y) = \pm 0$

Etapa 7.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\cos (y) = 0$

Etapa 7.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$y = \arccos (0)$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Etapa 7.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 7.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 7.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.6.2

Combine frações.

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Etapa 7.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 7.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 7.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Etapa 7.7

Encontre o período de $\cos (y)$ .

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Etapa 7.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.8

O período da função $\cos (y)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.9

Consolide as respostas.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ .

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

Etapa 8.2

Reordene $\frac{π}{2}$ e $π n$ .

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

Etapa 8.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

Etapa 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

Etapa 9.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$n = - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

Etapa 11