Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 8 x$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = 8 x - x^{2}$

Etapa 1.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{8 x - x^{2}}$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $8 x - x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $8 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 - x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 + x (- x)}$

Etapa 1.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot 8 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (8 - x)}$

Etapa 1.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

Etapa 1.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

Etapa 1.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 8 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Diferencie.

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Etapa 3.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 3.2.3

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 3.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = 8$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' = 8 - 2 x$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $2 y y' = 8 - 2 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = 8 - 2 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 3.5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- x}{y}$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $\frac{4}{y}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{x}{y} = - \frac{4}{y}$

Etapa 4.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$- x = - 4$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \sqrt{(4) (8 - (4))}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (4) = \sqrt{4 (8 - 4)}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$f (4) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (4) = \sqrt{16}$

Etapa 5.2.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = 4$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = - \sqrt{(4) (8 - (4))}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (4) = - \sqrt{4 (8 - 4)}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$f (4) = - \sqrt{4 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (4) = - \sqrt{16}$

Etapa 6.2.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (4) = - \sqrt{4^{2}}$

Etapa 6.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = - 1 \cdot 4$

Etapa 6.2.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (4) = - 4$

Etapa 6.2.7

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = 4, y = - 4$

$y = 4, y = - 4$

Etapa 8