Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{9 - x}{3 - \sqrt{x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} 9 - x}{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 9 - lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{3 - \sqrt{9}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{0}{3 - \sqrt{3^{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{9 - x}{3 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Etapa 1.3.8.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Etapa 1.3.8.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Etapa 1.3.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 1.3.8.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.8.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 9} - - (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - - (2 \sqrt{x})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 9} - (- 2 \sqrt{x})$

Etapa 1.6.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \sqrt{lim_{x \to 9} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$2 \sqrt{9}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$2 \sqrt{3^{2}}$

Etapa 4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \cdot 3$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$