Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{9 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{0}{9 - 6 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{9 - 6 - 3}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $6$ de $9$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 2 x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x - 2 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x - 2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 2 x - 2}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 2 x - 2}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 2 x - 2}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 2 x - 2}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 2}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 - 3}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $3$ de $6$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{6 - 2}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$