Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + lim_{x \to - 3} 7 x + lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 7 x + lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 7 x + lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.7.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}$

Etapa 1.1.3.7.1.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}$

Etapa 1.1.3.7.1.3

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$\frac{0}{18 - 21 + 3}$

Etapa 1.1.3.7.2

Subtraia $21$ de $18$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Etapa 1.1.3.7.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 7 x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 7 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.3.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $4 x + 7$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{4 x + 7}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 4 x + 7}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 4 x + lim_{x \to - 3} 7}$

Etapa 2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{4 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{4 lim_{x \to - 3} x + 7}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$2 \frac{- 3}{4 lim_{x \to - 3} x + 7}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$2 \frac{- 3}{- 12 + 7}$

Etapa 4.1.2

Some $- 12$ e $7$ .

$2 (\frac{- 3}{- 5})$

Etapa 4.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$2 (\frac{3}{5})$

Etapa 4.3

Multiplique $2 (\frac{3}{5})$ .

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Etapa 4.3.1

Combine $2$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{6}{5}$

Forma decimal:

$1.2$