Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 12 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $12 x^{3} - 12 x$ e $0$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 12 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $12 x^{3} - 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{3} - 12 x$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $12 x$ de $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

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Etapa 5.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$36 \cdot 0 - 12$

Etapa 9.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$0 - 12$

Etapa 9.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 7$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 7$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2} + 7$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0 + 7$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $7$ .

$f (0) = 7$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $7$ .

$y = 7$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

Etapa 13.1.2

Multiplique $36$ por $1$ .

$36 - 12$

Etapa 13.2

Subtraia $12$ de $36$ .

$24$

Etapa 14

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1 + 7$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 + 7$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 15.2.2.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$f (- 1) = - 3 + 7$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$f (- 1) = 4$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$36 \cdot 1 - 12$

Etapa 17.1.2

Multiplique $36$ por $1$ .

$36 - 12$

Etapa 17.2

Subtraia $12$ de $36$ .

$24$

Etapa 18

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2} + 7$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 7$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2} + 7$

Etapa 19.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 7$

Etapa 19.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 6 + 7$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$f (1) = - 3 + 7$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$f (1) = 4$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ .

$(0, 7)$ é um máximo local

$(- 1, 4)$ é um mínimo local

$(1, 4)$ é um mínimo local

Etapa 21