Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 256$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 32 x^{2} + 256$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [256]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [256]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$4 x^{3} - 64 x + \frac{d}{d x} [256]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 64 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4 x^{3} - 64 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 64 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 64 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 64 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 32 x^{2} + 256$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x^{2}) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x^{2}) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $4 x^{3} - 64 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 64 x$ .

$4 x^{3} - 64 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 64 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 64 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 64 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 64 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 64 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 16) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ .

$4 x (x^{2} - 16) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

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Etapa 5.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$4 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4, 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 4, 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 64$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 64$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 64$

Etapa 9.2

Subtraia $64$ de $0$ .

$- 64$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 32 {(0)}^{2} + 256$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 32 {(0)}^{2} + 256$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 32 \cdot 0 + 256$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 32$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 256$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 256$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $256$ .

$f (0) = 256$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $256$ .

$y = 256$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 4)}^{2} - 64$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 16 - 64$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$192 - 64$

Etapa 13.2

Subtraia $64$ de $192$ .

$128$

Etapa 14

$x = - 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 4$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f (- 4) = 256 - 32 {(- 4)}^{2} + 256$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = 256 - 32 \cdot 16 + 256$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 32$ por $16$ .

$f (- 4) = 256 - 512 + 256$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $512$ de $256$ .

$f (- 4) = - 256 + 256$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 256$ e $256$ .

$f (- 4) = 0$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(4)}^{2} - 64$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 16 - 64$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$192 - 64$

Etapa 17.2

Subtraia $64$ de $192$ .

$128$

Etapa 18

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{4} - 32 {(4)}^{2} + 256$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (4) = 256 - 32 {(4)}^{2} + 256$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 256 - 32 \cdot 16 + 256$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $- 32$ por $16$ .

$f (4) = 256 - 512 + 256$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 19.2.2.1

Subtraia $512$ de $256$ .

$f (4) = - 256 + 256$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 256$ e $256$ .

$f (4) = 0$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 256$ .

$(0, 256)$ é um máximo local

$(- 4, 0)$ é um mínimo local

$(4, 0)$ é um mínimo local

Etapa 21