Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $x^{2} + 25$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.2.6

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.4

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 25)}^{2}$ como $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.1.2

Mova $25$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.1.3

Multiplique $25$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.4.2

Some $25 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.6.1

Multiplique $50$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.1.5

Multiplique $25$ por $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.2

Subtraia $100 x^{3}$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.3.3

Subtraia $2500 x$ de $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.4

Fatore $u^{2} - 50 u - 1875$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 1875$ e cuja soma é $- 50$ .

$- 75, 25$

Etapa 3.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 25$ e ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Fatore $x^{2} + 25$ de $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 3.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 25$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- x^{2} + 25 = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 25$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Divida $- 25$ por $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 6.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 6.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 6.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 6.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 6.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5, - 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $50$ à potência de $3$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{125000}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{10 (25 - 75)}{125000}$

Etapa 10.3.2

Subtraia $75$ de $25$ .

$\frac{10 \cdot - 50}{125000}$

Etapa 10.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $10$ por $- 50$ .

$\frac{- 500}{125000}$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum de $- 500$ e $125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Fatore $500$ de $- 500$ .

$\frac{500 (- 1)}{125000}$

Etapa 10.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Fatore $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Etapa 10.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Etapa 10.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{250}$

Etapa 10.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{250}$

Etapa 11

$x = 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = \frac{5}{25 + 25}$

Etapa 12.2.1.2

Some $25$ e $25$ .

$f (5) = \frac{5}{50}$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $5$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (5) = \frac{5 (1)}{50}$

Etapa 12.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Fatore $5$ de $50$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Etapa 12.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Etapa 12.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5) = \frac{1}{10}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{10}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

Etapa 14.2.3

Eleve $50$ à potência de $3$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

Etapa 14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 10 (25 - 75)}{125000}$

Etapa 14.3.2

Subtraia $75$ de $25$ .

$\frac{- 10 \cdot - 50}{125000}$

Etapa 14.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Multiplique $- 10$ por $- 50$ .

$\frac{500}{125000}$

Etapa 14.4.2

Cancele o fator comum de $500$ e $125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Fatore $500$ de $500$ .

$\frac{500 (1)}{125000}$

Etapa 14.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Fatore $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Etapa 14.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Etapa 14.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{250}$

Etapa 15

$x = - 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 25}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 25}$

Etapa 16.2.1.2

Some $25$ e $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{50}$

Etapa 16.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{50}$

Etapa 16.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1.2.1

Fatore $5$ de $50$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Etapa 16.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Etapa 16.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5) = \frac{- 1}{10}$

Etapa 16.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5) = - \frac{1}{10}$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{10}$ .

$y = - \frac{1}{10}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ .

$(5, \frac{1}{10})$ é um máximo local

$(- 5, - \frac{1}{10})$ é um mínimo local

Etapa 18