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Cálculo Exemplos
Etapa 1
Etapa 1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Avalie .
Etapa 1.2.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Etapa 1.2.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.2.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.2.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.3
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.4
Simplifique.
Etapa 1.4.1
Reordene os termos.
Etapa 1.4.2
Simplifique cada termo.
Etapa 1.4.2.1
Reordene e .
Etapa 1.4.2.2
Reordene e .
Etapa 1.4.2.3
Aplique a fórmula do arco duplo do seno.
Etapa 2
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Etapa 2.2.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Etapa 2.2.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.2.1.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.2.2
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.4
Multiplique por .
Etapa 2.2.5
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.3
Avalie .
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Aplique a fórmula do arco duplo do seno.
Etapa 5
Etapa 5.1
Fatore de .
Etapa 5.2
Fatore de .
Etapa 5.3
Fatore de .
Etapa 6
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 7
Etapa 7.1
Defina como igual a .
Etapa 7.2
Resolva para .
Etapa 7.2.1
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do seno.
Etapa 7.2.2
Simplifique o lado direito.
Etapa 7.2.2.1
O valor exato de é .
Etapa 7.2.3
A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no segundo quadrante.
Etapa 7.2.4
Subtraia de .
Etapa 7.2.5
A solução para a equação .
Etapa 8
Etapa 8.1
Defina como igual a .
Etapa 8.2
Resolva para .
Etapa 8.2.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 8.2.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Etapa 8.2.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 8.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 8.2.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Etapa 8.2.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 8.2.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 8.2.3
Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do cosseno.
Etapa 8.2.4
Simplifique o lado direito.
Etapa 8.2.4.1
O valor exato de é .
Etapa 8.2.5
A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no quarto quadrante.
Etapa 8.2.6
Simplifique .
Etapa 8.2.6.1
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 8.2.6.2
Combine frações.
Etapa 8.2.6.2.1
Combine e .
Etapa 8.2.6.2.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 8.2.6.3
Simplifique o numerador.
Etapa 8.2.6.3.1
Multiplique por .
Etapa 8.2.6.3.2
Subtraia de .
Etapa 8.2.7
A solução para a equação .
Etapa 9
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 10
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 11
Etapa 11.1
Simplifique cada termo.
Etapa 11.1.1
Multiplique por .
Etapa 11.1.2
O valor exato de é .
Etapa 11.1.3
Multiplique por .
Etapa 11.1.4
O valor exato de é .
Etapa 11.1.5
Multiplique por .
Etapa 11.2
Subtraia de .
Etapa 12
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 13
Etapa 13.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 13.2
Simplifique o resultado.
Etapa 13.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 13.2.1.1
O valor exato de é .
Etapa 13.2.1.2
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 13.2.1.3
O valor exato de é .
Etapa 13.2.2
Some e .
Etapa 13.2.3
A resposta final é .
Etapa 14
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 15
Etapa 15.1
Simplifique cada termo.
Etapa 15.1.1
Subtraia as rotações completas de até que o ângulo fique maior do que ou igual a e menor do que .
Etapa 15.1.2
O valor exato de é .
Etapa 15.1.3
Multiplique por .
Etapa 15.1.4
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 15.1.5
O valor exato de é .
Etapa 15.1.6
Multiplique .
Etapa 15.1.6.1
Multiplique por .
Etapa 15.1.6.2
Multiplique por .
Etapa 15.2
Some e .
Etapa 16
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 17
Etapa 17.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 17.2
Simplifique o resultado.
Etapa 17.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 17.2.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 17.2.1.2
O valor exato de é .
Etapa 17.2.1.3
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 17.2.1.4
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 17.2.1.5
O valor exato de é .
Etapa 17.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 17.2.2
Subtraia de .
Etapa 17.2.3
A resposta final é .
Etapa 18
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 19
Etapa 19.1
Simplifique cada termo.
Etapa 19.1.1
Combine e .
Etapa 19.1.2
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 19.1.3
O valor exato de é .
Etapa 19.1.4
Cancele o fator comum de .
Etapa 19.1.4.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 19.1.4.2
Cancele o fator comum.
Etapa 19.1.4.3
Reescreva a expressão.
Etapa 19.1.5
O valor exato de é .
Etapa 19.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 19.3
Combine e .
Etapa 19.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 19.5
Simplifique o numerador.
Etapa 19.5.1
Multiplique por .
Etapa 19.5.2
Subtraia de .
Etapa 19.6
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 20
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 21
Etapa 21.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 21.2
Simplifique o resultado.
Etapa 21.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 21.2.1.1
O valor exato de é .
Etapa 21.2.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 21.2.1.3
Reescreva como .
Etapa 21.2.1.3.1
Use para reescrever como .
Etapa 21.2.1.3.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 21.2.1.3.3
Combine e .
Etapa 21.2.1.3.4
Cancele o fator comum de .
Etapa 21.2.1.3.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 21.2.1.3.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 21.2.1.3.5
Avalie o expoente.
Etapa 21.2.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 21.2.1.5
O valor exato de é .
Etapa 21.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 21.2.3
Escreva cada expressão com um denominador comum de , multiplicando cada um por um fator apropriado de .
Etapa 21.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 21.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 21.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 21.2.5
Some e .
Etapa 21.2.6
A resposta final é .
Etapa 22
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 23
Etapa 23.1
Simplifique cada termo.
Etapa 23.1.1
Multiplique .
Etapa 23.1.1.1
Combine e .
Etapa 23.1.1.2
Multiplique por .
Etapa 23.1.2
Subtraia as rotações completas de até que o ângulo fique maior do que ou igual a e menor do que .
Etapa 23.1.3
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.
Etapa 23.1.4
O valor exato de é .
Etapa 23.1.5
Cancele o fator comum de .
Etapa 23.1.5.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 23.1.5.2
Cancele o fator comum.
Etapa 23.1.5.3
Reescreva a expressão.
Etapa 23.1.6
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 23.1.7
O valor exato de é .
Etapa 23.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 23.3
Combine e .
Etapa 23.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 23.5
Simplifique o numerador.
Etapa 23.5.1
Multiplique por .
Etapa 23.5.2
Subtraia de .
Etapa 23.6
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 24
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 25
Etapa 25.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 25.2
Simplifique o resultado.
Etapa 25.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 25.2.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.
Etapa 25.2.1.2
O valor exato de é .
Etapa 25.2.1.3
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Etapa 25.2.1.3.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 25.2.1.3.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 25.2.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 25.2.1.5
Multiplique por .
Etapa 25.2.1.6
Reescreva como .
Etapa 25.2.1.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 25.2.1.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 25.2.1.6.3
Combine e .
Etapa 25.2.1.6.4
Cancele o fator comum de .
Etapa 25.2.1.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 25.2.1.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 25.2.1.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 25.2.1.7
Eleve à potência de .
Etapa 25.2.1.8
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 25.2.1.9
O valor exato de é .
Etapa 25.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 25.2.3
Escreva cada expressão com um denominador comum de , multiplicando cada um por um fator apropriado de .
Etapa 25.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 25.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 25.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 25.2.5
Some e .
Etapa 25.2.6
A resposta final é .
Etapa 26
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um mínimo local
é um máximo local
é um máximo local
Etapa 27