Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local f(x)=sin(x)^2+cos(x)
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.2.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.2.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.3
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Reordene os termos.
Etapa 1.4.2
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Reordene e .
Etapa 1.4.2.2
Reordene e .
Etapa 1.4.2.3
Aplique a fórmula do arco duplo do seno.
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.2.1.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.2.2
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.4
Multiplique por .
Etapa 2.2.5
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Aplique a fórmula do arco duplo do seno.
Etapa 5
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Fatore de .
Etapa 5.2
Fatore de .
Etapa 5.3
Fatore de .
Etapa 6
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 7
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Defina como igual a .
Etapa 7.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do seno.
Etapa 7.2.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.2.1
O valor exato de é .
Etapa 7.2.3
A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no segundo quadrante.
Etapa 7.2.4
Subtraia de .
Etapa 7.2.5
A solução para a equação .
Etapa 8
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Defina como igual a .
Etapa 8.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 8.2.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 8.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 8.2.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 8.2.3
Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do cosseno.
Etapa 8.2.4
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.4.1
O valor exato de é .
Etapa 8.2.5
A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no quarto quadrante.
Etapa 8.2.6
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.6.1
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 8.2.6.2
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.6.2.1
Combine e .
Etapa 8.2.6.2.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 8.2.6.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.6.3.1
Multiplique por .
Etapa 8.2.6.3.2
Subtraia de .
Etapa 8.2.7
A solução para a equação .
Etapa 9
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 10
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 11
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1.1
Multiplique por .
Etapa 11.1.2
O valor exato de é .
Etapa 11.1.3
Multiplique por .
Etapa 11.1.4
O valor exato de é .
Etapa 11.1.5
Multiplique por .
Etapa 11.2
Subtraia de .
Etapa 12
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 13
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 13.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1.1
O valor exato de é .
Etapa 13.2.1.2
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 13.2.1.3
O valor exato de é .
Etapa 13.2.2
Some e .
Etapa 13.2.3
A resposta final é .
Etapa 14
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 15
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1.1
Subtraia as rotações completas de até que o ângulo fique maior do que ou igual a e menor do que .
Etapa 15.1.2
O valor exato de é .
Etapa 15.1.3
Multiplique por .
Etapa 15.1.4
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 15.1.5
O valor exato de é .
Etapa 15.1.6
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1.6.1
Multiplique por .
Etapa 15.1.6.2
Multiplique por .
Etapa 15.2
Some e .
Etapa 16
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 17
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 17.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.2.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 17.2.1.2
O valor exato de é .
Etapa 17.2.1.3
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 17.2.1.4
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 17.2.1.5
O valor exato de é .
Etapa 17.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 17.2.2
Subtraia de .
Etapa 17.2.3
A resposta final é .
Etapa 18
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 19
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.1.1
Combine e .
Etapa 19.1.2
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 19.1.3
O valor exato de é .
Etapa 19.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.1.4.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 19.1.4.2
Cancele o fator comum.
Etapa 19.1.4.3
Reescreva a expressão.
Etapa 19.1.5
O valor exato de é .
Etapa 19.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 19.3
Combine e .
Etapa 19.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 19.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.5.1
Multiplique por .
Etapa 19.5.2
Subtraia de .
Etapa 19.6
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 20
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 21
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 21.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 21.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 21.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 21.2.1.1
O valor exato de é .
Etapa 21.2.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 21.2.1.3
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 21.2.1.3.1
Use para reescrever como .
Etapa 21.2.1.3.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 21.2.1.3.3
Combine e .
Etapa 21.2.1.3.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 21.2.1.3.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 21.2.1.3.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 21.2.1.3.5
Avalie o expoente.
Etapa 21.2.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 21.2.1.5
O valor exato de é .
Etapa 21.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 21.2.3
Escreva cada expressão com um denominador comum de , multiplicando cada um por um fator apropriado de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 21.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 21.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 21.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 21.2.5
Some e .
Etapa 21.2.6
A resposta final é .
Etapa 22
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 23
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 23.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 23.1.1
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 23.1.1.1
Combine e .
Etapa 23.1.1.2
Multiplique por .
Etapa 23.1.2
Subtraia as rotações completas de até que o ângulo fique maior do que ou igual a e menor do que .
Etapa 23.1.3
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.
Etapa 23.1.4
O valor exato de é .
Etapa 23.1.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 23.1.5.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 23.1.5.2
Cancele o fator comum.
Etapa 23.1.5.3
Reescreva a expressão.
Etapa 23.1.6
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 23.1.7
O valor exato de é .
Etapa 23.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 23.3
Combine e .
Etapa 23.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 23.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 23.5.1
Multiplique por .
Etapa 23.5.2
Subtraia de .
Etapa 23.6
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 24
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 25
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 25.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.2.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.
Etapa 25.2.1.2
O valor exato de é .
Etapa 25.2.1.3
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.2.1.3.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 25.2.1.3.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 25.2.1.4
Eleve à potência de .
Etapa 25.2.1.5
Multiplique por .
Etapa 25.2.1.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.2.1.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 25.2.1.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 25.2.1.6.3
Combine e .
Etapa 25.2.1.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.2.1.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 25.2.1.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 25.2.1.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 25.2.1.7
Eleve à potência de .
Etapa 25.2.1.8
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
Etapa 25.2.1.9
O valor exato de é .
Etapa 25.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 25.2.3
Escreva cada expressão com um denominador comum de , multiplicando cada um por um fator apropriado de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 25.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 25.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 25.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 25.2.5
Some e .
Etapa 25.2.6
A resposta final é .
Etapa 26
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um mínimo local
é um máximo local
é um máximo local
Etapa 27