Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{x^{2}}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.1.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.3

Combine os termos opostos em $x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ .

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Etapa 3.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o expoente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 3.1.3.5.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.5.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.6.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.2

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.3

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.4.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 3.3.4.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.4.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.6

Como $x^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.4

Como $2 x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 h x$ em relação a $h$ é $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.7.8

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.8

Simplifique.

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Etapa 3.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.8.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.8.2.3

Subtraia $- (- 2 x - 2 h)$ de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.8.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Etapa 3.3.9

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

Etapa 3.3.10

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

Etapa 3.3.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

Etapa 3.3.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Etapa 3.3.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.11.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Etapa 3.3.11.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

Etapa 3.3.11.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 3.3.11.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

Etapa 3.3.11.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ é $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , em que $f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ e $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Etapa 3.3.14

Multiplique $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Etapa 3.3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Etapa 3.3.16

Como $x^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Etapa 3.3.17

Some $0$ e $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Etapa 3.3.18

Como $2 x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 h x$ em relação a $h$ é $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Etapa 3.3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Etapa 3.3.20

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Etapa 3.3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

Etapa 3.3.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

Etapa 3.3.22.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.22.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

Etapa 3.3.22.2.2

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

Etapa 3.3.22.2.3

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

Etapa 3.3.22.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.22.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

Etapa 3.3.22.2.6

Some $2 h x$ e $2 h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

Etapa 3.3.22.2.7

Some $h^{2}$ e $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

Etapa 3.3.22.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Etapa 4.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Etapa 4.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Etapa 4.7

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Etapa 4.8

Avalie o limite de $x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Etapa 4.9

Mova o termo $4 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Etapa 6.1.2

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $4 x \cdot 0$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

Etapa 6.2.4

Some $0 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

Etapa 6.2.5

Some $0$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

Etapa 6.3

Combine.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

Etapa 6.4.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Etapa 6.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{3}}$