Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (3 x)}$

Etapa 1

Multiplique o numerador e o denominador por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (3 x)}{\sin (3 x) \cdot (3 x)}$

Etapa 2

Multiplique o numerador e o denominador por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (3 x) \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (3 x) \cdot (3 x)}$

Etapa 3

Separe as frações.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5

O limite de $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ é $1$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.4

Avalie o limite.

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.4.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.4.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 5.6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6

O limite de $\frac{3 x}{\sin (3 x)}$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ é $1$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 6.1.2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$1 \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$1 \cdot \frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.2.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 6.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 6.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 6.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.5.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) (3 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) \cdot 3} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.3.9

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{3 \cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{3 \cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.5

Converta de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ em $\sec (3 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.6

Avalie o limite.

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Etapa 6.6.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.6.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$1 \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$1 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 6.8.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{3}$

Etapa 8

Avalie o limite de $\frac{2}{3}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$