Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2 + x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 1.5

Some $- 3 x$ e $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 1.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.2.6.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Etapa 2.1.3.8

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Etapa 2.1.3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Etapa 2.1.3.9.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Etapa 2.1.3.9.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 \cdot 1 + 2)}$

Etapa 2.1.3.9.3.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 + 2)}$

Etapa 2.1.3.9.4

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (- 2 + 2)}$

Etapa 2.1.3.9.5

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.9.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.6

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.12

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + 0) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.14

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 2.3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.17

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.18

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \cdot 1}$

Etapa 2.3.19

Multiplique $x^{2} - 3 x + 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20

Simplifique.

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Etapa 2.3.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4

Combine os termos.

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Etapa 2.3.20.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.6

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.7

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.8

Subtraia $3 x$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 5 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 5 x + 3 - 3 x + 2}$

Etapa 2.3.20.4.10

Subtraia $3 x$ de $- 5 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 3 + 2}$

Etapa 2.3.20.4.11

Some $3$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

Etapa 3.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 5}$

Etapa 3.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 5}$

Etapa 3.1.3.7.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 8 \cdot 1 + 5}$

Etapa 3.1.3.7.1.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 8 + 5}$

Etapa 3.1.3.7.2

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{0}{- 5 + 5}$

Etapa 3.1.3.7.3

Some $- 5$ e $5$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.5

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 8 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.7.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 3.3.8.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.8.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 3.3.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + 0}$

Etapa 3.3.10

Some $6 x - 8$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $6 x - 8$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{6 x - 8}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 8}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 4}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 4)}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 4)}$

Etapa 3.4.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 4}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}$

Etapa 4.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 4}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{3 - 4}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 6.2

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1$