Cálculo Exemplos

$y = 2 x + 24$ , $y = x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x + 24 = x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $2 x + 24 = x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x + 24 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $2 x + 24 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Mova $24$ .

$2 x - x^{2} + 24 = 0$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 24 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 24 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Reescreva $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 24)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 6, 4 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 6) (x + 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 6) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 4$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $6$ por $x$ .

$y = {(6)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $6$ por $x$ em $y = {(6)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 6^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$y = 36$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$y = {(- 4)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$y = 16$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(6, 36)$

$(- 4, 16)$

$(6, 36)$

$(- 4, 16)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{6} 2 x + 24 d x - \int_{- 4}^{6} x^{2} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{6} 2 x + 24 - (x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{- 4}^{6} 2 x + 24 - x^{2} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{6} 2 x d x + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 4}^{6} x d x + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Etapa 3.7

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - \int_{- 4}^{6} x^{2} d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{6})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $6$ e em $- 4$ .

$2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $24 x$ em $6$ e em $- 4$ .

$2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Etapa 3.10.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $6$ e em $- 4$ .

$2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.2.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$2 (18 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$2 (18 - \frac{16}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.4.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (18 - \frac{8}{1}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.4.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$2 (18 - 1 \cdot 8) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$2 (18 - 8) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.6

Subtraia $8$ de $18$ .

$2 \cdot 10 + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.7

Multiplique $2$ por $10$ .

$20 + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.8

Multiplique $24$ por $6$ .

$20 + 144 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.9

Multiplique $- 24$ por $- 4$ .

$20 + 144 + 96 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.10

Some $144$ e $96$ .

$20 + 240 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.11

Some $20$ e $240$ .

$260 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.12

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$260 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.13.1

Fatore $3$ de $216$ .

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.13.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$260 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.13.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$260 - (72 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Etapa 3.10.2.4.14

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$260 - (72 - \frac{- 64}{3})$

Etapa 3.10.2.4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$260 - (72 - - \frac{64}{3})$

Etapa 3.10.2.4.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$260 - (72 + 1 (\frac{64}{3}))$

Etapa 3.10.2.4.17

Multiplique $\frac{64}{3}$ por $1$ .

$260 - (72 + \frac{64}{3})$

Etapa 3.10.2.4.18

Para escrever $72$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$260 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3})$

Etapa 3.10.2.4.19

Combine $72$ e $\frac{3}{3}$ .

$260 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3})$

Etapa 3.10.2.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$260 - \frac{72 \cdot 3 + 64}{3}$

Etapa 3.10.2.4.21

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.21.1

Multiplique $72$ por $3$ .

$260 - \frac{216 + 64}{3}$

Etapa 3.10.2.4.21.2

Some $216$ e $64$ .

$260 - \frac{280}{3}$

Etapa 3.10.2.4.22

Para escrever $260$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$260 \cdot \frac{3}{3} - \frac{280}{3}$

Etapa 3.10.2.4.23

Combine $260$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{260 \cdot 3}{3} - \frac{280}{3}$

Etapa 3.10.2.4.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{260 \cdot 3 - 280}{3}$

Etapa 3.10.2.4.25

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.25.1

Multiplique $260$ por $3$ .

$\frac{780 - 280}{3}$

Etapa 3.10.2.4.25.2

Subtraia $280$ de $780$ .

$\frac{500}{3}$

Etapa 4