Cálculo Exemplos

$y = 7 - x^{2}$ , $y = x + 5$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$7 - x^{2} = x + 5$

Etapa 1.2

Resolva $7 - x^{2} = x + 5$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$7 - x^{2} - x = 5$

Etapa 1.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$7 - x^{2} - x - 5 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $5$ de $7$ .

$- x^{2} - x + 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2 + y = x + 5$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x + 5$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 1) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = (1) + 5$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = (1) + 5$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1 + 5$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (1) + 5$

Etapa 1.3.2.3

Some $1$ e $5$ .

$y = 6$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = (- 2) + 5$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 2$ por $x$ em $y = (- 2) + 5$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 + 5$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- 2) + 5$

Etapa 1.4.2.3

Some $- 2$ e $5$ .

$y = 3$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

Etapa 2

Reordene $7$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 7$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 d x - \int_{- 2}^{1} x + 5 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - (x + 5) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 7 - x - 1 \cdot 5$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- x^{2} + 7 - x - 5$

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - x - 5 d x$

Etapa 4.3

Subtraia $5$ de $7$ .

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} - x + 2 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Etapa 4.11

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 2$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

Etapa 4.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 2$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

Etapa 4.12.3

Avalie $2 x$ em $1$ e em $- 2$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.5

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.7

Some $1$ e $8$ .

$- \frac{9}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.8

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.8.1

Fatore $3$ de $9$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.8.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.11

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.12

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.12.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.12.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.12.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.13

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.14

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.15

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.17.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 3 - \frac{1 - 4}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.17.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3 - \frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 - - \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 + 1 (\frac{3}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.20

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- 3 + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.21

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.22

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.24.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.24.2

Some $- 6$ e $3$ .

$\frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.26

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} + 2 - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.12.4.27

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 + 4$

Etapa 4.12.4.28

Some $2$ e $4$ .

$- \frac{3}{2} + 6$

Etapa 4.12.4.29

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.12.4.30

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.12.4.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.12.4.32

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.32.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{- 3 + 12}{2}$

Etapa 4.12.4.32.2

Some $- 3$ e $12$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 5