Cálculo Exemplos

$y = x^{3}$ , $y = 4 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{3} = 4 x$

Etapa 1.2

Resolva $x^{3} = 4 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 4 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0 + y = 4 x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 4 (0)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = 4 (- 2)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$y = - 8$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = 4 (2)$

Etapa 1.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = 8$

Etapa 1.6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} x^{3} d x - \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - (4 x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - 4 x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Etapa 3.5

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Etapa 3.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $0$ e em $- 2$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Etapa 3.7.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $0$ e em $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.4

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.5

Combine $- 16$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 16}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.6.1

Fatore $4$ de $- 16$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 4}{1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$0 - 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.7

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 4 - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.10

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{4}{2})$

Etapa 3.7.2.3.11

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.11.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Etapa 3.7.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Etapa 3.7.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.7.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2}{1})$

Etapa 3.7.2.3.11.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- 4 - 4 (0 - 1 \cdot 2)$

Etapa 3.7.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 4 - 4 (0 - 2)$

Etapa 3.7.2.3.13

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 4 - 4 \cdot - 2$

Etapa 3.7.2.3.14

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- 4 + 8$

Etapa 3.7.2.3.15

Some $- 4$ e $8$ .

$4$

Etapa 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} 4 x - (x^{3}) d x$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 4 x - x^{3} d x$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} 4 x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 5.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Etapa 5.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Etapa 5.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Etapa 5.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Etapa 5.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $0$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Etapa 5.9.2.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $2$ e em $0$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$4 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$4 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$4 (2 - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 (2 + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.6

Some $2$ e $0$ .

$4 \cdot 2 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.8

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$8 - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.9

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.9.1

Fatore $4$ de $16$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$8 - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.9.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$8 - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 5.9.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$8 - (4 - \frac{0}{4})$

Etapa 5.9.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.11.1

Fatore $4$ de $0$ .

$8 - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 5.9.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.3.11.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 5.9.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 5.9.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$8 - (4 - \frac{0}{1})$

Etapa 5.9.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$8 - (4 - 0)$

Etapa 5.9.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$8 - (4 + 0)$

Etapa 5.9.2.3.13

Some $4$ e $0$ .

$8 - 1 \cdot 4$

Etapa 5.9.2.3.14

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$8 - 4$

Etapa 5.9.2.3.15

Subtraia $4$ de $8$ .

$4$

Etapa 6

Some $4$ e $4$ .

$8$

Etapa 7