Cálculo Exemplos

$y = 4 x^{3} - 3 x$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$12 x^{2} - 3$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$12 {(1)}^{2} - 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 - 3$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 3$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$9$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $9$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 9 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $9 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$y - 1 = 9 x - 9$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 9 x - 9 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 9$ e $1$ .

$y = 9 x - 8$

Etapa 3