Cálculo Exemplos

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o argumento em $\ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x {(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

${(x {(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

${(x {(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

${(x {(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2.2

Some $- x$ e $x$ .

${(x {(x^{2} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Aplique a regra do produto a $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{1} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.5

Simplifique.

$x^{2} (x^{2} - 1) > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.7.2

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x^{4} - 1 \cdot x^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.9

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} > 0^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{4} - x^{2} > 0$

Etapa 1.2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{4} - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.3.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.3.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o domínio de $x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.4.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 1.2.4.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.2.4.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.2.4.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Etapa 1.2.4.2.6.1.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.2.4.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.4.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Etapa 1.2.4.2.6.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.2.4.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.4.2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Etapa 1.2.4.2.6.3.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.2.4.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 1.2.4.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Etapa 1.2.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Etapa 1.2.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 1$

Etapa 1.3

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.4.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.4.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.4.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 1.4.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.4.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.4.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.4.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.4.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Etapa 1.4.6.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.4.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.4.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Etapa 1.4.6.3.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.4.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 1.4.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Etapa 1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Notação de intervalo:

$(1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $1$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln ((1) \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Etapa 2.2

Multiplique $\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)}$ por $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Etapa 2.3

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 (1 - 1)})$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 \cdot 0})$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0})$

Etapa 2.6

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Etapa 2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = \ln (0)$

Etapa 2.8

O logaritmo natural de zero é indefinido.

$f (1) = Undefined$

Indefinido

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . Nesse caso, o ponto é $(2, \ln (2 \sqrt{3}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \ln ((2) \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Some $2$ e $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 (2 - 1)})$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 \cdot 1})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3})$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $\ln (2 \sqrt{3})$ .

$y = \ln (2 \sqrt{3})$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . Nesse caso, o ponto é $(3, \ln (6 \sqrt{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \ln ((3) \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $3$ e $1$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (3 - 1)})$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 \cdot 2})$

Etapa 4.2.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{8})$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (2)})$

Etapa 4.2.2.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Etapa 4.2.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (3) = \ln (3 (2 \sqrt{2}))$

Etapa 4.2.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (3) = \ln (6 \sqrt{2})$

Etapa 4.2.2.7

A resposta final é $\ln (6 \sqrt{2})$ .

$y = \ln (6 \sqrt{2})$

Etapa 4.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(1, Undefined), (2, 1.24), (3, 2.14)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 1.24 \\ 3 & 2.14 \end{array}$

Etapa 5