Cálculo Exemplos

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 2

Combine $2$ e $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.8.3

Multiplique $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ por $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 5.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.2

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.4

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.4

Fatore $4$ de $- 4 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.8

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 6.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$