Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 6 x + 12}{x - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 6 x + 12$ e $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 12] - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x - 4) (2 x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 6) - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Subtraia $8 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24 + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 14 x$ e $6 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 24 - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $12$ de $24$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $x^{2} - 8 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 6, - 2$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$