Cálculo Exemplos

$e^{3 \ln (x^{2})}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 \ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 \ln (x^{2})$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Etapa 2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (x^{2})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $3$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Combine $\frac{3}{x^{2}}$ e $e^{3 \ln (x^{2})}$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Combine $2$ e $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

Etapa 4.4.3

Combine $\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

Etapa 4.4.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.4.4.1

Fatore $x$ de $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

Etapa 4.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Etapa 4.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Etapa 4.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $3 \ln (x^{2})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

Etapa 5.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

Etapa 5.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

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Etapa 5.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{6}}{x}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x^{6}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $6 x^{6}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $6 x^{5}$ por $1$ .

$6 x^{5}$