Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + 8$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 8] - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2}) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x + 2$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.4

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.5

Fatore $2$ de $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$