Cálculo Exemplos

$\tan (\ln (a x + b))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = \tan (a)$ e $g (a) = \ln (a x + b)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = \ln (a)$ e $g (a) = a x + b$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{a x + b}$ e $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + b$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Etapa 3.3

Como $x$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $a x$ em relação a $a$ é $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Etapa 3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

Etapa 3.6

Como $b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $b$ em relação a $a$ é $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

Etapa 3.7.2

Combine $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ e $x$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores em $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ .

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$