Cálculo Exemplos

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Etapa 9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 12

Some $1$ e $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Etapa 13.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Etapa 13.3

Reescreva $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Etapa 13.4

Reescreva $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Etapa 13.5

Reordene $- {(2 \sin (x))}^{2}$ e ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Etapa 13.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 \cos (x)$ e $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Etapa 13.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Etapa 13.8

Expanda $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 13.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Etapa 13.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Etapa 13.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.9

Combine os termos opostos em $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Etapa 13.9.1

Reorganize os fatores nos termos $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ e $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.9.2

Some $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ e $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.9.3

Some $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ e $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.10.1

Multiplique $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Etapa 13.10.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.10.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.10.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.10.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.10.1.5

Some $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 13.10.2

Multiplique $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Etapa 13.10.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Etapa 13.10.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 13.10.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 13.10.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 13.10.2.5

Some $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$