Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Etapa 5.2.5

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Etapa 5.2.6

Combine $2$ e $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Etapa 5.2.7

Combine $\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ e $x$ .

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.9.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.9.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{2}{x}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{2}{x} + 1$