Cálculo Exemplos

$y = \frac{5 x - 2}{4 x + 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x - 2$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $4 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (4 x + 3) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Combine os termos opostos em $5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $5 (4 x)$ e $- 4 (5 x)$ .

$\frac{4 \cdot 5 x + 5 \cdot 3 - 4 \cdot 5 x - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Subtraia $4 \cdot 5 x$ de $4 \cdot 5 x$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Some $5 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{15 + 8}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $15$ e $8$ .

$\frac{23}{{(4 x + 3)}^{2}}$