Cálculo Exemplos

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

Etapa 1

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

Etapa 2

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Etapa 3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

Etapa 3.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 6.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

Etapa 6.10

Some $2 x + 6$ e $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Etapa 7.4

Combine os termos.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Etapa 7.4.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Etapa 7.4.3

Mova $6$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

Etapa 7.4.4

Some $24 x e^{4 x}$ e $e^{4 x} (2 x)$ .

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Etapa 7.4.4.1

Mova $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Etapa 7.4.4.2

Some $24 x e^{4 x}$ e $2 x e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Etapa 7.4.5

Some $36 e^{4 x}$ e $6 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

Etapa 7.6

Reordene os fatores em $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$