Cálculo Exemplos

$\ln (\cos (2 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Etapa 4.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 5.2

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Etapa 5.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Etapa 5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Etapa 5.5

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{2}{\cos (2 x)}$ .

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.6

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.7

Separe as frações.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

Etapa 5.8

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

Etapa 5.9

Divida $2$ por $1$ .

$- (2 \tan (2 x))$

Etapa 5.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \tan (2 x)$