Cálculo Exemplos

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 9.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Etapa 13

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Etapa 13.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Etapa 13.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 13.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Multiplique $1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3.2

Combine.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.5

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 14.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 14.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.6

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 14.7.1

Reordene ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.2

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.3

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.7.4

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.8

Reordene os termos.

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.9

Cancele o fator comum.

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.10

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$