Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = a x + b$ e $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.6

Some $a$ e $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $c x + d$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c x$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $c$ por $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $d$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $d$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 2.12

Some $c$ e $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3.4

Combine os termos opostos em $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

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Etapa 3.4.1

Reorganize os fatores nos termos $c x a$ e $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $a c x$ de $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $d a$ e $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$