Cálculo Exemplos

$f (x) = (3 x - 8) \ln (2 x^{5} + 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x - 8$ e $g (x) = \ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5} + 3)] + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{5} + 3$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{2 x^{5} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{5} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + 0) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Some $10 x^{4}$ e $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4}) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.6.2

Combine $10$ e $\frac{1}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{10}{2 x^{5} + 3} x^{4} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.6.3

Combine $x^{4}$ e $\frac{10}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{x^{4} \cdot 10}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.6.4

Mova $10$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$(3 x - 8) \frac{10 \cdot x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.11

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + 0)$

Etapa 3.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.12.1

Some $3$ e $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \cdot 3$

Etapa 3.12.2

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + 3 \ln (2 x^{5} + 3)$