Cálculo Exemplos

$x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2} = 6$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Etapa 3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x^{2} y' + 8 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $8 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ .

$y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ por $x^{2} + 8 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ por $x^{2} + 8 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 8 y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $x$ de $- 3 x^{2} - 2 x y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $x$ de $x (- 3 x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.6.1

Reescreva $- (3 x + 2 y)$ como $- 1 (3 x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 5.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$