Cálculo Exemplos

$\sin (x + y) = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = x y' + y$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1.4.1

Multiplique $\cos (x + y)$ por $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = x y' + y$

Etapa 5.1.1.4.2

Reordene os fatores em $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = x y' + y$

Etapa 5.2

Subtraia $x y'$ dos dois lados da equação.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - x y' = y$

Etapa 5.3

Subtraia $\cos (x + y)$ dos dois lados da equação.

$y' \cos (x + y) - x y' = y - \cos (x + y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $y' \cos (x + y) - x y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - x y' = y - \cos (x + y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- x) = y - \cos (x + y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (\cos (x + y)) + y' (- x)$ .

$y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ por $\cos (x + y) - x$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ por $\cos (x + y) - x$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x + y) - x$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$