Cálculo Exemplos

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.5

Combine $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ e $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Reordene os fatores em $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.3

Mova $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.4

Reordene $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ e $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(1 + y') y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reordene $y^{2}$ e $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y' y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ dos dois lados da equação.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y'$ de $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y'$ de $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Etapa 5.3.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Etapa 5.3.5

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Etapa 5.3.6

Divida cada termo em $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ por $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.6.1

Divida cada termo em $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ por $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.6.2.1

Cancele o fator comum de $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

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Etapa 5.3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.6.3.1

Combine em uma fração.

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Etapa 5.3.6.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.6.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Etapa 5.3.6.3.2.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.2.2

Reescreva $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ como $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.3.6.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Etapa 5.3.6.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Etapa 5.3.6.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Etapa 5.3.6.3.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.3.6.3.3.4.1

Reescreva $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ como $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Etapa 5.3.6.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$