Cálculo Exemplos

$3 x y - x^{2} - 4 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 x y - x^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y - x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x y') + 3 y - 2 x + 0$

Etapa 2.5.2

Some $3 x y' + 3 y - 2 x$ e $0$ .

$3 x y' + 3 y - 2 x$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$3 x y' - 2 x + 3 y$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x y' - 2 x + 3 y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$3 x y' + 3 y = 2 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$3 x y' = 2 x - 3 y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $3 x y' = 2 x - 3 y$ por $3 x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $3 x y' = 2 x - 3 y$ por $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$