Cálculo Exemplos

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{y}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + \sin (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Etapa 3.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Etapa 3.3.2

Some $0$ e $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ .

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Etapa 5.3

Subtraia $x y' \cos (x y)$ dos dois lados da equação.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Etapa 5.4

Some $e^{y} \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Etapa 5.5

Fatore $y'$ de $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $y' e^{y} \cos (x)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Etapa 5.5.2

Fatore $y'$ de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Etapa 5.5.3

Fatore $y'$ de $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ por $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ por $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$