Cálculo Exemplos

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Etapa 2.2

Expanda $(y - 3) (y - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 6 y + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 y$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Etapa 2.10

Some $2 y y' - 6 y'$ e $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (x - 5)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (1 + 0)$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y' - 6 y'$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

Etapa 5.1.2

Fatore $2 y'$ de $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Etapa 5.1.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 y' (y - 3) = 4$ por $2 (y - 3)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 y' (y - 3) = 4$ por $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$