Cálculo Exemplos

$y = {(5 x^{2} + 11 x)}^{20}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} + 11 x)}^{20})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{20}$ e $g (x) = 5 x^{2} + 11 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 20$ .

$20 u^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 11 x$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 11 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 3.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Etapa 3.2.5

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \cdot 1)$

Etapa 3.2.7

Multiplique $11$ por $1$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$